09年7月高等教育自学考试《线性代数》试题答案

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r（A）表示矩阵A的秩.

　　一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

　　在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

　　1.已知行列式 =0，则数a =（    ）

　　A.-3B.-2

　　C.2D.3

　　2.下列矩阵中不是初等矩阵的为（    ）

　　A. B.

　　C. D.

　　3.已知2阶矩阵A = 的行列式|A|=-1，则（A*）-1=（    ）

　　A. B.

　　C. D.

　　4.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=E，则C -1=（    ）

　　A.ABB.BA

　　C.A-1B-1D.B-1A-1

　　5.设A为2阶矩阵，若|3A|=3，则|2A|=（    ）

　　A. B.1

　　C. D.2

　　6.向量组 ， ，…， （s≥2）的秩不为零的充分必要条件是（    ）

　　A. ， ，…， 中没有线性相关的部分组

　　B. ， ，…， 中至少有一个非零向量

　　C. ， ，…， 全是非零向量

　　D. ， ，…， 全是零向量

　　7.设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是（    ）

　　A.r（A）=nB.r（A）=m

　　C.r（A）

　　8.已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（    ）

　　A.AB.E-A

　　C.-E-AD.2E-A

　　9.设矩阵A= ，则二次型xTAx的规范形为（    ）

　　A. B.

　　C. D.

　　10.4元二次型f（x1,x2,x3,x4）=2x1x2+2x1x4+2x2x3+2x3x4的秩为（    ）

　　A.1B.2

　　C.3D.4

　二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

　　请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

　　11.已知行列式 =1,则 =______________.

　　12已知矩阵方程XA=B，其中A= ，B= ，则X=___________.

　　13.已知矩阵A=（1，2，-1），B=（2，-1，1），且C=ATB，则C2=__________.

　　14.设矩阵A= ，则 =_____________.

　　15.设向量组 =（1，0，0）T， =（0，1，0）T，且 ，则向量组

　　的秩为____________.

　　16.已知向量组 =（1，2，3，）T， =（2，2，2）T, =（3，2，a）T线性相关，则数a=________.

　　17.已知向量 =（3，k,2）T与 =（1，1，k）T正交，则数k=_______.

　　18.已知3元非齐次线性方程组的增广矩阵为 ，若该方程组无解，则a的取值为_________.

　　19.已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=_______.

　　20.已知3元二次型f（x1,x2,x3）=（1-a） + +（a+3） 正定，则数a的最大取值范围是_______.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

　　21.计算行列式D= 的值.

　　22.设矩阵A= ，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，求|B|.

　　23.已知线性方程互组

　　（1）讨论当a为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解；

　　（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.

　　24.设向量组 =（1，4，1，0）T， =（2，1，-1，-3）T， =（1，0，-3，-1）T，

　　=（0，2，-6，3）T，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.

　　25.已知矩阵A= 与B= 相似，求数a,b的值.

　　26.已知二次型f（x1,x2,x3）=2x1x2+2x1x3+2x2x3，求一正交变换x=Py,将此二次型化为标准形.

　　四、证明题（本大题6分）

　　27.设矩阵A满足A2=E，且A的特征值全为1，证明A=E.